Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, queremos encontrar o limite. Para isso, vamos precisar entender o que acontece com a expressão
conforme
aumenta e como isso afeta a sequência toda.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Como
é um número entre 0 e 1, ao elevarmos ele a potências cada vez maiores, o valor de
vai ficando menor e menor, se aproximando de zero. Isso acontece porque estamos multiplicando 0,2 por ele mesmo várias vezes, diminuindo o valor a cada passo.
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão completa da sequência:
. Sabemos que
está se aproximando de zero quando
cresce. Então, subtraindo um número que está indo para zero de 1, o resultado vai se aproximar de 1.
Passo 4
Para confirmar, podemos calcular alguns termos da sequência:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Vemos que os valores estão se aproximando de 1 conforme
aumenta.
Passo 5
Matematicamente, podemos expressar o limite da sequência assim:
Portanto, o limite da sequência é 1.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 1.