Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
{1 - (0.2)^n}_{n=1}^{infinito}

Passo 1

Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, queremos encontrar o limite. Para isso, vamos precisar entender o que acontece com a expressão conforme aumenta e como isso afeta a sequência toda.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Como é um número entre 0 e 1, ao elevarmos ele a potências cada vez maiores, o valor de vai ficando menor e menor, se aproximando de zero. Isso acontece porque estamos multiplicando 0,2 por ele mesmo várias vezes, diminuindo o valor a cada passo.

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão completa da sequência: . Sabemos que está se aproximando de zero quando cresce. Então, subtraindo um número que está indo para zero de 1, o resultado vai se aproximar de 1.

Passo 4

Para confirmar, podemos calcular alguns termos da sequência:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Vemos que os valores estão se aproximando de 1 conforme aumenta.

Passo 5

Matematicamente, podemos expressar o limite da sequência assim:
Portanto, o limite da sequência é 1.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 1.

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