Calcule f^prime(x).
f(x)=x+1x ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x+1xln x
Para isso vamos usar a regra do quociente, além de saber que
ddx(ln x)=1x

Passo 2

Definimos
u(x)=x+1, v(x)=xln x
Então
u'(x)=1,
e, usando o produto em v(x),
v'(x)=ddxl(xln xr)=1cdotln x + xcdot1x=ln x +1

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =1cdot(xln x)-(x+1),(ln x+1)(xln x)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
xln x-(x+1)(ln x+1) =xln x-l(xln x + x +ln x +1r) =-l(x + ln x +1r)
E o denominador é
(xln x)^2=x^2(ln x)^2

Resposta

f'(x) =-x + ln x +1x^2(ln x)^2

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