Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^infty e^-s t d t

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^infty e^-s t,dt,
que depende do parâmetro real s. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias com parâmetro, usando o cálculo do limite da primitiva.

Passo 2

Para começar, cortamos o infinito e escrevemos
integral0^infty e^-s t,dt =limbtoinftyintegral0^be^-s t,dt
Como antiderivada de e^-s t (supondo sneq0) temos
integral e^-s t,dt =-1se^-s t
Logo,
integral0^be^-s t,dt =[-1se^-s t]0^b =-1se^-s b+1s =1sl(1-e^-s br)

Passo 3

Agora analisamos o limite quando btoinfty:
  • Se s>0, então e^-s bto0 e o limite é tfrac1s, finito.
  • Se s=0, a integral vira integral0^infty1,dt, que diverge.
  • Se s<0, então e^-s b=e^|s|btoinfty, e também diverge.

Resposta

A integral convergente ocorre exatamente para
s>0

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