Calcule F^prime(x): F(x)=5 x+xx-1x+1

Passo 1

No exercício temos a função
F(x)=5x+xx-1x+1,
queremos calcular F'(x). O conteúdo envolvido é derivada de soma e de quociente, então vamos usar regra do quociente e simplificação algébrica para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o numerador fazendo um denominador comum em 5x+xx-1. Temos
5x+xx-1=5x(x-1)+xx-1=5x^2-5x+xx-1=5x^2-4xx-1
Logo
F(x)=5x^2-4xx-1x+1=5x^2-4x(x-1)(x+1)=5x^2-4xx^2-1

Passo 3

Agora que escrevemos
F(x)=P(x)Q(x),
com P(x)=5x^2-4x e Q(x)=x^2-1, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
l(PQr)'=P',Q-P,Q'Q^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de P e Q:
P'(x)=ddx(5x^2-4x)=10x-4,
Q'(x)=ddx(x^2-1)=2x

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
F'(x)=(10x-4)(x^2-1)-(5x^2-4x)(2x)(x^2-1)^2
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(10x-4)(x^2-1)=10x^3-4x^2-10x+4,
(5x^2-4x)(2x)=10x^3-8x^2
Fazendo a subtração:
10x^3-4x^2-10x+4; -;(10x^3-8x^2)=4x^2-10x+4

Passo 6

Portanto chegamos ao resultado final da derivada
F'(x)=4x^2-10x+4(x^2-1)^2

Resposta

F'(x)=4x^2-10x+4(x^2-1)^2

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