Em cada caso, determine o menor número de termos que devem ser somados, para aproximar a soma da série com um erro menor do que E.
(b) sumn=1^infty 1n^3 ; E=0.01

Passo 1

O enunciado pede o menor número de termos N para que a soma parcial da série sumn=1^infty 1n^3 tenha erro menor que E=0.01. O assunto é p-séries (com p=3>1) e estimativa de resto pelo teste integral.

Passo 2

Consideramos a função f(x)=1x^3, que é positiva, contínua e decrescente para x>=1. Pelo teste integral, o resto RN após N termos satisfaz
0

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
integralN^inftyx^-3,dx=limbtoinftyl[-tfrac12x^-2r]N^b=0-l(-tfrac12N^2r)=12N^2

Passo 4

Para garantir erro menor que E, impomos
12N^2<0.01
Isso leva a
N^2>12cdot0.01=50Longrightarrow N>raiz50approx7.07

Passo 5

Como N deve ser inteiro, o menor valor que atende é N=8.

Resposta

8

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