Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(g) sumn=1^infty 39 n^2+3 n-2

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a série
sumn=1^infty 39n^2+3n-2
é geométrica ou telescópica e, em caso de convergência, calcular a soma. Vamos precisar reconhecer o tipo de série e fazer decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
9n^2+3n-2 = (3n-1)(3n+2)
Então
39n^2+3n-2 = 3(3n-1)(3n+2)
Para aplicar telescópica, fazemos decomposição em frações parciais.

Passo 3

Procuramos constantes A e B tais que
3(3n-1)(3n+2) = A3n-1 + B3n+2
Multiplicando ambos os lados por (3n-1)(3n+2) vem
3 = A(3n+2) + B(3n-1) = (3A+3B)n + (2A - B)
Igualando coeficientes:
3A + 3B = 0, 2A - B = 3
Da primeira equação A = -B. Substituindo na segunda resulta 3A = 3, logo A = 1 e B = -1. Portanto
39n^2+3n-2 = 13n-1 - 13n+2

Passo 4

Agora escrevemos a soma parcial SN:
SN = sumn=1^N l(13n-1 - 13n+2r)
Desenvolvendo alguns termos:
SN = l(12 - 15r) + l(15 - 18r) + cdots + l(13N-1 - 13N+2r)
Observamos o cancelamento telescópico, sobrando
SN = 12 - 13N+2

Passo 5

Por fim, ao tomar o limite quando N to infty,
sumn=1^infty 39n^2+3n-2 = limN to infty SN = 12
Assim a série é do tipo de encaixe (telescópica) e converge para tfrac12.

Resposta

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