Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para identificar se a série
é geométrica ou telescópica e, em caso de convergência, calcular a soma. Vamos precisar reconhecer o tipo de série e fazer decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Então
Para aplicar telescópica, fazemos decomposição em frações parciais.
Passo 3
Procuramos constantes A e B tais que
Multiplicando ambos os lados por
vem
Igualando coeficientes:
Da primeira equação A = -B. Substituindo na segunda resulta 3A = 3, logo A = 1 e B = -1. Portanto
Passo 4
Agora escrevemos a soma parcial
:
Desenvolvendo alguns termos:
Observamos o cancelamento telescópico, sobrando
Passo 5
Por fim, ao tomar o limite quando
,
Assim a série é do tipo de encaixe (telescópica) e converge para
.
Resposta
1/2