Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x sen(√(x⁵)−x²). O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia, e vamos precisar reescrever √(x⁵) como x^(5/2) para facilitar.

Passo 2

Reescrevendo a função, temos f(x)=x sin(x^(5/2)−x²). Isso deixa claro que u(x)=x e v(x)=sin(x^(5/2)−x²).
Pela regra do produto, f’(x)=u’(x)·v(x)+u(x)·v’(x). Como u’(x)=1, ficamos com f’(x)=sin(x^(5/2)−x²)+x·v’(x).

Passo 3

Para v’(x) usamos regra da cadeia: v(x)=sin(w(x)) com w(x)=x^(5/2)−x². Então v’(x)=cos(w(x))·w’(x).

Passo 4

Calculando w’(x):
w(x)=x^5/2-x^2w'(x)=52x^3/2-2x

Passo 5

Substituindo v’(x) e w’(x) em f’(x), obtemos:
f'(x)=sin(x^5/2-x^2)+xcos(x^5/2-x^2)l(52x^3/2-2xr)

Resposta

f'(x)=sin(x^5/2-x^2)+xcos(x^5/2-x^2)l(tfrac52x^3/2-2xr)

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