Determine o domínio das funções

Passo 1

Estamos lidando com a função composta f(x)=log3l(logtfrac12xr), então o conteúdo aqui é domínio de funções logarítmicas aninhadas. Vamos precisar lembrar que para um logb(A) existir temos que A>0, e que se a base b está entre 0 e 1 a função é decrescente, invertendo desigualdades.

Passo 2

Primeiro exigimos que o logarítmico interno exista: x>0, pois só faz sentido calcular logtfrac12x com argumento positivo.
Em seguida, como esse resultado entra como argumento do log externo, precisamos de logtfrac12x>0. Como a base tfrac12 está entre 0 e 1, a função é decrescente, então ao resolver a desigualdade invertemos o sinal:
logtfrac12x>0 ocorre exatamente quando 0.
Combinando ambas as condições ( x>0 e x<1) chegamos ao domínio.
O domínio de f é todos os x tais que:

Resposta

(0,1)

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