Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
f(x)=1sen(x-sen x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=1senl(x-senxr)
O conteúdo envolvido é derivação de função composta usando regra da cadeia, e precisaremos da derivada de sen e da função recíproca.

Passo 2

Definimos
u(x)=x-senx,
de modo que
f(x)=l[sen(u(x))r]^-1

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à potência l[v(x)r]^-1:
ddxl[v(x)r]^-1 =-l[v(x)r]^-2cdot v'(x)
Aqui v(x)=sen(u(x)), logo
f'(x) =-l[sen(u(x))r]^-2cdotddxl[sen(u(x))r]

Passo 4

Derivamos sen(u(x)) por regra da cadeia:
ddxl[sen(u(x))r] =cosl(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 5

Derivamos u(x)=x-senx:
u'(x)=1-cos x

Passo 6

Substituindo em f'(x):
f'(x) =-l[sen(u(x))r]^-2cdotcosl(u(x)r)cdot(1-cos x)
Voltando a u(x)=x-senx, fica
f'(x) =-(1-cos x),cosl(x-senxr) l[senl(x-senxr)r]^2

Resposta

f'(x)=-(1-cos x),cosl(x-senxr) sin^2l(x-senxr)

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