Determine se o limite underset(x, y) (x0, y0)lim existe nos seguintes casos:
f(x, y)=x yy-2 x,(x0, y0)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para investigar se o limite
lim(x,y)to(0,0)xy,y-2x,
existe. Como é uma função de duas variáveis, vamos usar o critério de trajetórias diferentes: se acharmos duas curvas pelas quais o limite seja diferente, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Considere a reta genérica y=kx, com kneq2. Substituindo em f(x,y) temos
f(x,kx) =x,(kx),kx-2x, =kx^2x(k-2) =kxk-2
Quando (x,kx)to(0,0), isto é, xto0, segue que
limxto0f(x,kx)=limxto0kxk-2=0

Passo 3

Agora escolha uma curva que anule o denominador “pra valer” menos de ordem maior, por exemplo
y=2x+x^2
Então
y-2x=x^2 e xy=x,(2x+x^2)=2x^2+x^3
Logo
fl(x,2x+x^2r) =2x^2+x^3x^2 =2+x,
e, ao fazermos xto0,
limxto0fl(x,2x+x^2r)=2

Passo 4

Vimos que ao aproximar de (0,0) pela reta y=kx (com kneq2) o limite é 0, enquanto pela curva y=2x+x^2 o limite é 2. Como esses valores não coincidem, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados