Determine se o limite underset(x, y) (x0, y0)lim existe nos seguintes casos:
f(x, y)=x^2+y^2x^2+y^2,(x0, y0)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a existência de
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
onde
f(x,y)=x^2+y^2x^2+y^2
O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos verificar se todas as trajetórias que levam a (0,0) dão o mesmo valor.

Passo 2

Note que para todo (x,y)neq(0,0) o numerador e o denominador são iguais e não nulos. Portanto
f(x,y)=x^2+y^2x^2+y^2=1

Passo 3

Ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho em que (x,y)neq(0,0), o valor de f(x,y) é sempre 1. Logo, todos os limites direcionais coincidem em 1.

Passo 4

Como não há variação de resultado conforme a direção de aproximação, o limite existe e é igual a 1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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