Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo: f(x)=x sen(raizx^5-x^2)

Passo 1

O exercício pede a derivada de uma função que é produto de duas partes, então vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia. O conteúdo da matéria é derivação de funções compostas e derivação de produto.

Passo 2

Identificamos as duas funções em jogo: u(x)=x e v(x)=sinl(g(x)r), onde g(x)=raizx^5-x^2. Pela regra do produto temos f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Derivando u(x)=x obtém-se u'(x)=1.

Passo 4

Para derivar v(x)=sinl(g(x)r) usamos a regra da cadeia: a derivada de sin(z) em relação a z é cos(z), e depois multiplicamos pela derivada de g(x). Assim, v'(x)=cosl(g(x)r)cdot g'(x).

Passo 5

Agora derivamos g(x)=raizx^5-x^2. Escrevendo raizx^5=x^5/2, tem-se
g'(x)=52x^3/2-2x

Passo 6

Substituindo na regra do produto:
f'(x)=1cdotsinl(raizx^5-x^2r)+xcdotl[cosl(raizx^5-x^2r)l(tfrac52x^3/2-2xr)r]

Passo 7

Podemos reescrever o resultado agrupando termos:
f'(x)=sinl(raizx^5-x^2r)+cosl(raizx^5-x^2r)l(tfrac52x^5/2-2x^2r)

Resposta

f’(x)=\sin\bigl(\sqrt{x5}-x2\bigr)+\cos\bigl(\sqrt{x5}-x2\bigr)\Bigl(\tfrac{5}{2}x{5/2}-2x2\Bigr)

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