Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo: f(x)=ccsen xx & , se x neq 0 1 & , se x=0 x0=0 (obs: cos x, para todo x in] -pi2, pi2[backslash0 )

Passo 1

O enunciado define a função f(x) por partes: f(x)= sin xx se x≠0 e f(0)=1, e pede para verificar continuidade e derivabilidade em x₀=0. Vamos usar a definição de continuidade (limite de f em 0 igual a f(0)) e a definição de derivada f’(0)=limₕ→0(f(h)−f(0))/h.

Passo 2

Para a continuidade em x=0 usamos a desigualdade dada cos x válida para x em ]−π/2,π/2[{0}. Como limx→0cos x=1 e 1 é constante, pelo Teorema do Confronto temos
limx→0sin xx=1
Que coincide com f(0)=1. Logo f é contínua em 0.

Passo 3

Para a derivabilidade em 0 usamos a definição
f'(0)=limh→0f(h)-f(0)h= limh→0sin hh-1h
Manipulando,
f'(0)=limh→0sin h - hh^2

Passo 4

Para avaliar limh→0sin h - hh^2 podemos aplicar duas vezes a Regra de L’Hospital (ou usar a expansão em série sin h = h - h^3/6 + o(h^3)). Usando L’Hospital:
  1. deriva numerador: cos h -1, denom: 2h. Dá forma 0/0;
  2. deriva de novo: numerador -sin h, denom constante 2, e ao calcular em h→0 obtemos 0/2=0.
    Portanto f’(0)=0, mostrando que f é derivável em 0.

Passo 5

Concluímos que f é contínua e derivável no ponto x₀=0, com f’(0)=0.

Resposta

f é contínua e derivável em 0, e f’(0)=0.

Exercícios relacionados