Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(obs:
, para todo
)
Passo 1
O enunciado define a função f(x) por partes: f(x)=
se x≠0 e f(0)=1, e pede para verificar continuidade e derivabilidade em x₀=0. Vamos usar a definição de continuidade (limite de f em 0 igual a f(0)) e a definição de derivada f’(0)=limₕ→0(f(h)−f(0))/h.
Passo 2
Para a continuidade em x=0 usamos a desigualdade dada
válida para x em ]−π/2,π/2[{0}. Como
e 1 é constante, pelo Teorema do Confronto temos
Que coincide com f(0)=1. Logo f é contínua em 0.
Passo 3
Para a derivabilidade em 0 usamos a definição
Manipulando,
Passo 4
Para avaliar
podemos aplicar duas vezes a Regra de L’Hospital (ou usar a expansão em série
). Usando L’Hospital:
- deriva numerador:
, denom: . Dá forma 0/0; - deriva de novo: numerador
, denom constante 2, e ao calcular em h→0 obtemos 0/2=0.
Portanto f’(0)=0, mostrando que f é derivável em 0.
Passo 5
Concluímos que f é contínua e derivável no ponto x₀=0, com f’(0)=0.
Resposta
f é contínua e derivável em 0, e f’(0)=0.