Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
f(x)=x sen x cos x

Passo 1

A questão nos dá a função f(x)=xsin xcos x e pede para encontrar f'(x). Vamos usar derivadas de produto e uma identidade trigonométrica para facilitar.

Passo 2

Lembrando da identidade sin xcos x=tfrac12sin2x, podemos reescrever
f(x)=xsin xcos x=12,xsin2x
Isso simplifica a expressão antes de derivar.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto a f(x)=xcdotl(tfrac12sin2xr). Sejam g(x)=x e h(x)=tfrac12sin2x. Temos
g'(x)=1 e
h'(x)=12cdot(2cos2x)=cos2x
Pela regra do produto:
$$
f’(x)=g’(x)h(x)+g(x)h’(x)=1\cdot\frac12\sin2x + x\cdot\cos2x.
$$

Passo 4

Por fim, a derivada já está simplificada. O resultado é
f'(x)=12sin2x + xcos2x

Resposta

f'(x)=tfrac12sin2x + xcos2x

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