Questão 1: (Valor 3,0)
Um sólido tem uma base circular de raio 1. Suas seções planas por planos perpendiculares à base são quadrados. Encontre o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base é um círculo de raio 1 e cujas seções transversais por planos perpendiculares à base são quadrados. Vamos usar o método de integração por fatias (slicing) para calcular esse volume.

Passo 2

Colocamos um eixo x passando pelo centro da base e consideramos uma fatia em posição x, com -1<= x<=1. A base do sólido em cada fatia é um segmento (corda) do círculo dado por
y^2 + x^2 = 1
Logo, a corda varia de y=-raiz1-x^2 até y=+raiz1-x^2, e o lado do quadrado nessa fatia é
s(x)=2raiz1-x^2

Passo 3

A área do quadrado em função de x é
A(x)=l[s(x)r]^2=l(2raiz1-x^2r)^2=4l(1-x^2r)

Passo 4

O volume do sólido é a integral da área das fatias de x=-1 a x=1, isto é,
V=integral-1^1A(x),dx=integral-1^14l(1-x^2r),dx
Agora calculamos essa integral:

Passo 5

Calculando a integral:
V=4integral-1^1(1-x^2),dx=4l[x-x^33r]-1^1 =4l((1-tfrac13)-(-1+tfrac13)r) =4cdottfrac43=tfrac163

Resposta

dfrac163

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