Questão 1: (Valor 3,0)
Um sólido tem uma base circular de raio 1. Suas seções planas por planos perpendiculares à base são quadrados. Encontre o volume do sólido.
Um sólido tem uma base circular de raio 1. Suas seções planas por planos perpendiculares à base são quadrados. Encontre o volume do sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido cuja base é um círculo de raio 1 e cujas seções transversais por planos perpendiculares à base são quadrados. Vamos usar o método de integração por fatias (slicing) para calcular esse volume.
Passo 2
Colocamos um eixo
passando pelo centro da base e consideramos uma fatia em posição
, com
. A base do sólido em cada fatia é um segmento (corda) do círculo dado por
Logo, a corda varia de
até
, e o lado do quadrado nessa fatia é
Passo 3
A área do quadrado em função de
é
Passo 4
O volume do sólido é a integral da área das fatias de
a
, isto é,
Agora calculamos essa integral:
Passo 5
Calculando a integral: