Seja
a região no
quadrante do plano limitada pelas curvas
e
. Determine uma expressão, através de integral na variável
, que permite calcular o volume (Observação: não é necessário resolver a integral):
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R, no 1° quadrante, limitada por y = x³ e y = 2x – x², em torno do eixo x. Para isso vamos usar o método dos discos (ou arruelas).
Passo 2
Determinamos onde as curvas se intersectam: resolvendo x³ = 2x – x² obtemos x(x² + x – 2) = 0, logo x = 0 e x = 1 são as interseções no 1° quadrante.
Passo 3
Em cada valor de x ∈ [0,1], a curva y = 2x – x² fica acima de y = x³, de modo que, ao girar em torno do eixo x, temos um rádio externo R(x) = 2x – x² e um rádio interno r(x) = x³.
Passo 4
A área da seção transversal perpendicular ao eixo x é dada pela diferença entre a área do disco maior e do disco menor:
Finalmente, o volume é a integral dessa área de x = 0 até x = 1.