Seja R a região no 1^circ quadrante do plano limitada pelas curvas y=x^3 e y=2 x-x^2. Determine uma expressão, através de integral na variável x, que permite calcular o volume (Observação: não é necessário resolver a integral):

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R, no 1° quadrante, limitada por y = x³ e y = 2x – x², em torno do eixo x. Para isso vamos usar o método dos discos (ou arruelas).

Passo 2

Determinamos onde as curvas se intersectam: resolvendo x³ = 2x – x² obtemos x(x² + x – 2) = 0, logo x = 0 e x = 1 são as interseções no 1° quadrante.

Passo 3

Em cada valor de x ∈ [0,1], a curva y = 2x – x² fica acima de y = x³, de modo que, ao girar em torno do eixo x, temos um rádio externo R(x) = 2x – x² e um rádio interno r(x) = x³.

Passo 4

A área da seção transversal perpendicular ao eixo x é dada pela diferença entre a área do disco maior e do disco menor:
A(x) = pil[(2x - x^2)^2 - (x^3)^2r]
Finalmente, o volume é a integral dessa área de x = 0 até x = 1.
V = integral0^1 A(x),dx = integral0^1 pil[(2x - x^2)^2 - (x^3)^2r],dx

Resposta

V = integral0^1 pil[(2x - x^2)^2 - x^6r],dx

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