Calcule
onde .
Passo 1
Vamos ver o que o enunciado diz e que conteúdo vamos usar: temos uma função definida por partes e queremos a derivada. Isso envolve derivar um polinômio no trecho x≤1 e derivar uma reta no trecho x>1, além de checar o ponto de “junção” x=1 para ver se a derivada existe ali.
Passo 2
Para x<1 (que vale também em x≤1, exceto o ponto 1) temos o ramo f(x)=x²+3x. Aplicando regra básica de derivada de polinômio: a derivada de x² é 2x e a de 3x é 3. Logo,
para x<1.
Passo 3
Para x>1 temos o ramo f(x)=5x−1. É uma função afim, cuja derivada é a sua inclinação, ou seja,
para x>1.
Passo 4
Precisamos ver o que acontece em x=1. A derivada lateral à esquerda em x=1 é 2·1+3=5 e a lateral à direita é 5. Como batem, f é diferenciável em x=1 e f’(1)=5. Agora é só juntar tudo.
Passo 5
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