Calcule f^prime(x) onde .

Passo 1

Vamos ver o que o enunciado diz e que conteúdo vamos usar: temos uma função definida por partes e queremos a derivada. Isso envolve derivar um polinômio no trecho x≤1 e derivar uma reta no trecho x>1, além de checar o ponto de “junção” x=1 para ver se a derivada existe ali.

Passo 2

Para x<1 (que vale também em x≤1, exceto o ponto 1) temos o ramo f(x)=x²+3x. Aplicando regra básica de derivada de polinômio: a derivada de x² é 2x e a de 3x é 3. Logo,
f'(x)=2x+3,
para x<1.

Passo 3

Para x>1 temos o ramo f(x)=5x−1. É uma função afim, cuja derivada é a sua inclinação, ou seja,
f'(x)=5,
para x>1.

Passo 4

Precisamos ver o que acontece em x=1. A derivada lateral à esquerda em x=1 é 2·1+3=5 e a lateral à direita é 5. Como batem, f é diferenciável em x=1 e f’(1)=5. Agora é só juntar tudo.

Passo 5

final_answer":" f'(x)=2x+3,&x<1,5,&x>=1"

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