Calcule F^{\prime}(x) onde F(x) é igual a
\frac{4 \sqrt[4]{x^{3}}\left(3-x^{2}\right)-7 x^{2}+3}{4 \sqrt[4]{x^{3}}\left(x^{2}+3\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\frac{4\sqrt[4]{x^3}\,(3-x^2)\;-\;7x^2+3}{4\sqrt[4]{x^3}\,(x^2+3)^2}.
O conteúdo envolvido é regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia para potências fracionárias. Vamos precisar escrever \sqrt[4]{x^3}=x^{3/4} e aplicar:
(F/G)'=\frac{F'\,G - F\,G'}{G^2},\quad \frac{d}{dx}x^p = p\,x^{p-1}.

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador:
N(x)=4x^{3/4}(3-x^2)-7x^2+3, \qquad D(x)=4x^{3/4}(x^2+3)^2.
Pela regra do quociente,
F'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)\;-\;N(x)\,D'(x)}{\bigl[D(x)\bigr]^2}.

Passo 3

Calculamos N'(x). Note que N(x)=4x^{3/4}(3-x^2)-7x^2+3 é soma de um produto e de um termo polinomial.
\frac{d}{dx}\bigl[4x^{3/4}(3-x^2)\bigr] =4\Bigl(\tfrac{3}{4}x^{-1/4}(3-x^2)+x^{3/4}(-2x)\Bigr) =3x^{-1/4}(3-x^2)-8x^{7/4}.
Além disso \frac{d}{dx}(-7x^2+3)=-14x.
Logo, reunindo termos de mesma potência:
N'(x) =3x^{-1/4}(3-x^2)-8x^{7/4}-14x =9x^{-1/4}-3x^{7/4}-8x^{7/4}-14x =9x^{-1/4}-11x^{7/4}-14x.

Passo 4

Agora D(x)=4x^{3/4}(x^2+3)^2. Aplicando produto e cadeia:
D'(x) =4\Bigl(\tfrac{3}{4}x^{-1/4}(x^2+3)^2 + x^{3/4}\cdot2(x^2+3)\cdot2x\Bigr).
Isso é
D'(x) =3x^{-1/4}(x^2+3)^2+16x^{7/4}(x^2+3).

Passo 5

Substituindo em
F'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2},
temos
F'(x) =\frac{\bigl(9x^{-1/4}-11x^{7/4}-14x\bigr)\,4x^{3/4}(x^2+3)^2 \;-\;\bigl[\,4x^{3/4}(3-x^2)-7x^2+3\bigr] \bigl[\,3x^{-1/4}(x^2+3)^2+16x^{7/4}(x^2+3)\bigr]} {\bigl[4x^{3/4}(x^2+3)^2\bigr]^2}.
E como \bigl[4x^{3/4}(x^2+3)^2\bigr]^2=16x^{3/2}(x^2+3)^4, obtemos a forma final:

Resposta

F'(x) =\frac{\bigl(9x^{-1/4}-11x^{7/4}-14x\bigr)\,4x^{3/4}(x^2+3)^2 -\bigl(4x^{3/4}(3-x^2)-7x^2+3\bigr)\bigl(3x^{-1/4}(x^2+3)^2+16x^{7/4}(x^2+3)\bigr)} {16\,x^{3/2}\,(x^2+3)^4}.

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