Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
log 3^(2 x)3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=log3(2x)3x
O conteúdo envolvido é derivada de quociente e derivada de logaritmo de base diferente, para o qual usaremos a mudança de base e as regras da cadeia e do quociente.

Passo 2

Primeiro, convertemos o logaritmo de base 3 em ln:
log3(2x)=ln(2x)ln 3
Logo
f(x) =13x,ln(2x)ln 3 =13ln 3,ln(2x)x

Passo 3

Definimos
C=13ln 3, g(x)=ln(2x)x,
de modo que
f(x)=C,g(x)

Passo 4

Agora usamos a regra do quociente para
g(x)=ln(2x)x
Temos
g'(x) =l(ln(2x)r)' cdot x - ln(2x)cdot(x)'x^2
Como (ln(2x))'=12xcdot2=1x e (x)'=1, vem
g'(x) =1xcdot x - ln(2x)cdot1x^2 =1-ln(2x)x^2

Passo 5

Finalmente,
f'(x)=C;g'(x) =13ln 3,1-ln(2x)x^2 =1-ln(2x)3,x^2,ln 3

Resposta

f'(x)=1-ln(2x)3,x^2,ln 3

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