Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial . Nos problemas de 1 a 4, faça os passos descritos a seguir. Considere nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial dada.
(b) Faça o gráfico de em função de para para diversos valores de entre .
(c) Faça o gráfico de em função de para e para diversos valores de .
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação da onda unidimensional
em
e velocidade inicial nula . Aqui
e
Vamos usar separação de variáveis e série de senos para obter (u(x,t)], depois tratar os itens (b) a (e).]
Passo 2
Pela separação de variáveis e condições de contorno, a forma geral da solução sem velocidade inicial é
u(x,t)=sumn=1^inftyBnsin!l(tfracnpi xLr)cos!l(tfracnpi a tLr),
onde os coeficientes Bn vêm da expansão de Fourier de f(x) em senos:
Bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx
Passo 3
Calculamos Bn dividindo a integral em 0 a L/2 e L/2 a L:
(b) Para fazer o gráfico u(x,t) vs.\ x em 0<= x<=10 para vários tin[0,20]:
Trunque a série em n=1,dots,N com Napprox50.
Num software (por ex. Python/NumPy+Matplotlib ou MATLAB), defina vetores x e tempos ti.
Calcule u(x,ti) pela soma finita e plote curvas de u versus x para cada ti.
Passo 6
(c) Para o gráfico u(x,t) vs.\ t em 0<= t<=20 para pontos fixos xj:
Escolha posições xj (por ex.\ x=2,5,8).
Gere vetor de tempos t e compute u(xj,t) pela mesma soma.
Plote u versus t para cada xj.
Passo 7
(d) Para animar a vibração no tempo:
Num loop sobre tin[0,20], atualize o gráfico de u(x,t) vs.\ x.
Armazene frames ou use função de animação (Matplotlib FuncAnimation ou ações similares).
Revele a corda oscilando com período fundamental
T=2La=20
Passo 8
(e) Descrição qualitativa do movimento da corda:
A corda parte da forma triangular e oscila em modos harmônicos de frequência omegan=npi/10. Como a velocidade inicial é zero, a corda “abre e fecha” sua forma triangular simetricamente, retornando ao perfil inicial a cada período T=20. A vibração é uma superposição de modos ímpares, produzindo um movimento suave de expansão e contração central.
Gráficos e animação podem ser gerados com truncamento da série e ferramentas numéricas; o movimento é periódico de período T=20, alternando o perfil triangular original com sua inversa, sem rotação nem deslocamento de fase global.