Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Nos problemas de 1 a 4, faça os passos descritos a seguir. Considere L=10 e a=1 nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento u(x, t) para a posição inicial f(x) dada.
(b) Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para 0 <= x <= 10 e para diversos valores de t entre t=0 e t=20.
(c) Faça o gráfico de u(x, t) em função de t para 0 <= t <= 20 e para diversos valores de x.
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
f(x)=lr2 x / L, & 0 <= x <= L / 2, 2(L-x) / L, & L / 2<x <= L

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda unidimensional
em
e velocidade inicial nula . Aqui
e
Vamos usar separação de variáveis e série de senos para obter (u(x,t)], depois tratar os itens (b) a (e).]

Passo 2

Pela separação de variáveis e condições de contorno, a forma geral da solução sem velocidade inicial é
u(x,t)=sumn=1^inftyBnsin!l(tfracnpi xLr)cos!l(tfracnpi a tLr),
onde os coeficientes Bn vêm da expansão de Fourier de f(x) em senos:
Bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Calculamos Bn dividindo a integral em 0 a L/2 e L/2 a L:
Bn=2Ll[I1+I2r], I1=integral0^L/22xLsin!l(tfracnpi xLr),dx, I2=integralL/2^L2(L-x)Lsin!l(tfracnpi xLr),dx
Fazendo as integrações por partes (ou usando tabelas) obtém-se
Bn=8n^2pi^2,sin!l(tfracnpi2r)
Note que sin(npi/2)=0 para n par, e pm1 para n ímpar.

Passo 4

Substituindo em u(x,t) e usando L=10, a=1, chegamos à solução final:
boxed u(x,t) =sumn=1^infty 8,sinl(tfracnpi2r)n^2pi^2 ;sinl(tfracnpi x10r), cosl(tfracnpi t10r)

Passo 5

(b) Para fazer o gráfico u(x,t) vs.\ x em 0<= x<=10 para vários tin[0,20]:
  1. Trunque a série em n=1,dots,N com Napprox50.
  2. Num software (por ex. Python/NumPy+Matplotlib ou MATLAB), defina vetores x e tempos ti.
  3. Calcule u(x,ti) pela soma finita e plote curvas de u versus x para cada ti.

Passo 6

(c) Para o gráfico u(x,t) vs.\ t em 0<= t<=20 para pontos fixos xj:
  1. Escolha posições xj (por ex.\ x=2,5,8).
  2. Gere vetor de tempos t e compute u(xj,t) pela mesma soma.
  3. Plote u versus t para cada xj.

Passo 7

(d) Para animar a vibração no tempo:
  1. Num loop sobre tin[0,20], atualize o gráfico de u(x,t) vs.\ x.
  2. Armazene frames ou use função de animação (Matplotlib FuncAnimation ou ações similares).
  3. Revele a corda oscilando com período fundamental
T=2La=20

Passo 8

(e) Descrição qualitativa do movimento da corda:
A corda parte da forma triangular e oscila em modos harmônicos de frequência
omegan=npi/10. Como a velocidade inicial é zero, a corda “abre e fecha” sua forma triangular simetricamente, retornando ao perfil inicial a cada período T=20. A vibração é uma superposição de modos ímpares, produzindo um movimento suave de expansão e contração central.

Resposta

A solução para o deslocamento é
u(x,t) =sumn=1^infty 8,sinl(tfracnpi2r)n^2pi^2 ;sinl(tfracnpi x10r), cosl(tfracnpi t10r)
Gráficos e animação podem ser gerados com truncamento da série e ferramentas numéricas; o movimento é periódico de período T=20, alternando o perfil triangular original com sua inversa, sem rotação nem deslocamento de fase global.

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