Calcule o fluxo do campo de vetores:
através da superfície do sólido
, com campo de vetores normais exterior a superfície.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
pela superfície fechada do sólido
isto é, a casca entre a esfera de raio
e a de raio
, com o vetor normal apontando para fora de
. Vamos usar o Teorema do Divergente para transformar o fluxo em um volume integral.
Passo 2
O Teorema do Divergente diz que, para um campo
suficientemente suave em
(que não contém a origem),
Aqui
é a união das superfícies das esferas de raio
(com normal para dentro, isto é,
) e raio
(normal
).
Passo 3
Calculamos a divergência de
Temos
e somando em
dá
Passo 4
Em coordenadas esféricas
o volume elementar é
e a região
corresponde a
,
,
. Logo
Passo 5
Simplificando dentro do integral,
, então
Pelo Teorema do Divergente esse valor é exatamente o fluxo pedido.
Resposta
O fluxo de
através da superfície de
com normal exterior é
.