Calcule o fluxo do campo de vetores:
G(x, y, z)=(xx^2+y^2+z^2, yx^2+y^2+z^2, zx^2+y^2+z^2)
através da superfície do sólido W: 9 <= x^2+y^2+z^2 <= 16, com campo de vetores normais exterior a superfície.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
G(x,y,z)=gl(xx^2+y^2+z^2,,yx^2+y^2+z^2,,zx^2+y^2+z^2gr)
pela superfície fechada do sólido
W:;9<= x^2+y^2+z^2<=16,
isto é, a casca entre a esfera de raio 3 e a de raio 4, com o vetor normal apontando para fora de W. Vamos usar o Teorema do Divergente para transformar o fluxo em um volume integral.

Passo 2

O Teorema do Divergente diz que, para um campo G suficientemente suave em W (que não contém a origem),
integral duplapartial WGcdot n,dS = integral triplaWnablacdot G,dV
Aqui partial W é a união das superfícies das esferas de raio 3 (com normal para dentro, isto é, -er) e raio 4 (normal +er).

Passo 3

Calculamos a divergência de
G=(G1,G2,G3), Gi=xir^2,;r^2=x^2+y^2+z^2
Temos
partial Gipartial xi = r^2-2xi^2r^4,
e somando em i=1,2,3
nablacdot G =sumi=1^3r^2-2xi^2r^4 =3r^2-2r^2r^4 =1r^2

Passo 4

Em coordenadas esféricas (r,theta,varphi) o volume elementar é
dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dvarphi,
e a região W corresponde a 3<= r<=4, 0<=theta<=pi, 0<=varphi<=2pi. Logo
integral triplaWnablacdot G,dV =integral0^2pi!!integral0^pi!!integralr=3^41r^2;r^2sintheta,dr,dtheta,dvarphi

Passo 5

Simplificando dentro do integral, tfrac1r^2,r^2=1, então
integral triplaWnablacdot G,dV =integral0^2pi!!dvarphi integral0^pisintheta,dtheta integral3^4dr =(2pi)l[(-costheta)0^pir](4-3) =2picdot2cdot1 =4pi
Pelo Teorema do Divergente esse valor é exatamente o fluxo pedido.

Resposta

O fluxo de G através da superfície de W com normal exterior é 4pi.

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