Calcule o fluxo do campo de vetores G(x, y, z)=(2 x,-1, z) através da superfície do tetraedro determinado pelo plano 2 x+y+3 z=6 e pelos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo ,G(x,y,z)=(2x,-1,z) através da superfície do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
2x+y+3z=6
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que nos permite converter o fluxo de G pela superfície fechada em um triplo integral do divergente de G sobre o volume interior.

Passo 2

Calculamos o divergente de G:
nabla!cdot G =partialpartial x(2x) +partialpartial y(-1) +partialpartial z(z) =2+0+1 =3

Passo 3

Descrita por
(x,y,z)>=0:;2x+y+3z<=6,
a região é um tetraedro cujos interceptos são
xrm int=(3,0,0), yrm int=(0,6,0), zrm int=(0,0,2)
O volume de um tetraedro de interceptos a,b,c em cada eixo é
V=16,a,b,c =16cdot3cdot6cdot2 =6

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
integral duplapartial VGcdot n,dS =integral triplaV(nabla!cdot G),dV =3;times V =3cdot6 =18

Resposta

18

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