Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
raiz[3]x^4 e^sin (x)

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=raiz[3]x^4,e^sin(x). O conteúdo necessário envolve a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a raiz em forma de potência. Note que raiz[3]x^4=x^4/3. Assim, temos
f(x)=x^tfrac43,e^sin(x)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x),v(x) com u(x)=x^4/3 e v(x)=e^sin(x). A regra diz
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 4

Calculamos u'(x) usando a regra da potência:
u'(x)=l(x^4/3r)'=tfrac43x^4/3-1=tfrac43x^1/3

Passo 5

Calculamos v'(x) usando cadeia: v(x)=e^sin(x) e a derivada de sin(x) é cos(x). Logo,
v'(x)=e^sin(x)cdot(sin(x))'=e^sin(x)cos(x)

Passo 6

Substituindo na regra do produto, obtemos
$$f’(x)=\tfrac{4}{3}x{1/3},e{\sin(x)}+x{4/3},e{\sin(x)}\cos(x).
f'(x)=tfrac43x^1/3,e^sin(x)+x^4/3,e^sin(x)cos(x) f’(x)=e{\sin(x)}x{1/3}\Bigl(\tfrac{4}{3}+x\cos(x)\Bigr).
$$

Resposta

f'(x)=e^sin(x)x^1/3l(tfrac43+xcos(x)r)

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