Verifique se cada uma das sequências a seguir são convergentes e calcule seus limites.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência an = l(tfrac14r)^n+2 e calcular seu limite. O conteúdo aqui é sequência geométrica e vamos usar o critério de convergência para r com |r|<1.

Passo 2

Podemos reescrever an destacando a razão da sequência:
an = l(tfrac14r)^n+2 = l(tfrac14r)^2 cdot l(tfrac14r)^n = tfrac116 cdot l(tfrac14r)^n

Passo 3

Lembrando que uma sequência geométrica de razão r satisfaz limntoinftyr^n=0 sempre que |r|<1. Aqui temos r=tfrac14 e |r|=0,25<1, logo a parte (tfrac14)^n tende a zero.

Passo 4

Como limntoinfty(tfrac14)^n=0, segue que
limntoinftyan = 116 cdot 0 = 0

Resposta

A sequência é convergente e limntoinftyan = 0.

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