Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
sin (3 x)tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de f(x)=dfracsin(3x)tan(x). Este é um problema de derivada de quociente que envolve funções trigonométricas. Vamos usar a regra do quociente combinada com algumas identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) de modo a aplicar mais facilmente a regra do quociente. Como tan(x)=dfracsin(x)cos(x), temos
[ f(x)=\frac{\sin(3x)}{\tan(x)}=\sin(3x)\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{u}{v}, ]
onde definimos
[ u(x)=\sin(3x),\cos(x), \quad v(x)=\sin(x). ]

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v. Usando a regra do produto em u=sin(3x)cdotcos(x):
[ u’(x)=\bigl(\sin(3x)\bigr)’\cos(x)+\sin(3x)\bigl(\cos(x)\bigr)’=3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x). ]
E para v(x)=sin(x),
[ v’(x)=\cos(x). ]

Passo 4

Aplicamos então a regra do quociente:
[ f’(x)=\frac{u’v-uv’}{v^2} = \frac{\bigl(3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x)\bigr)\sin(x)-\sin(3x)\cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}. ]

Passo 5

Simplificamos o numerador. Primeiro, expandindo:
[ (3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x))\sin(x)=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x)\sin^2(x). ]
Subtraindo sin(3x)cos^2(x) e lembrando que sin^2(x)+cos^2(x)=1, obtemos:
[ numerador=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x)(\sin2(x)+\cos2(x))=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x). ]

Passo 6

Por fim, usamos a identidade sin(2x)=2sin(x)cos(x) para escrever o resultado de modo mais compacto. Temos:
[3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)=\tfrac{3}{2}\cos(3x)\sin(2x).]
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Passo 7

final_answer

Resposta

f'(x)=3cos(3x)sin(2x)-2sin(3x)2sin^2(x)

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