Calcule
onde
é igual a:
Passo 1
O enunciado pede para achar a derivada de
. Este é um problema de derivada de quociente que envolve funções trigonométricas. Vamos usar a regra do quociente combinada com algumas identidades trigonométricas para simplificar.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
de modo a aplicar mais facilmente a regra do quociente. Como
, temos
[ f(x)=\frac{\sin(3x)}{\tan(x)}=\sin(3x)\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{u}{v}, ]
onde definimos
[ u(x)=\sin(3x),\cos(x), \quad v(x)=\sin(x). ]
[ f(x)=\frac{\sin(3x)}{\tan(x)}=\sin(3x)\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{u}{v}, ]
onde definimos
[ u(x)=\sin(3x),\cos(x), \quad v(x)=\sin(x). ]
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
e
. Usando a regra do produto em
:
[ u’(x)=\bigl(\sin(3x)\bigr)’\cos(x)+\sin(3x)\bigl(\cos(x)\bigr)’=3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x). ]
E para ,
[ v’(x)=\cos(x). ]
[ u’(x)=\bigl(\sin(3x)\bigr)’\cos(x)+\sin(3x)\bigl(\cos(x)\bigr)’=3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x). ]
E para
[ v’(x)=\cos(x). ]
Passo 4
Aplicamos então a regra do quociente:
[ f’(x)=\frac{u’v-uv’}{v^2} = \frac{\bigl(3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x)\bigr)\sin(x)-\sin(3x)\cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}. ]
[ f’(x)=\frac{u’v-uv’}{v^2} = \frac{\bigl(3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x)\bigr)\sin(x)-\sin(3x)\cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}. ]
Passo 5
Simplificamos o numerador. Primeiro, expandindo:
[ (3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x))\sin(x)=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x)\sin^2(x). ]
Subtraindo e lembrando que
, obtemos:
[ numerador=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x)(\sin2(x)+\cos2(x))=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x). ]
[ (3\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x))\sin(x)=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x)\sin^2(x). ]
Subtraindo
[ numerador=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x)(\sin2(x)+\cos2(x))=3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)-\sin(3x). ]
Passo 6
Por fim, usamos a identidade
para escrever o resultado de modo mais compacto. Temos:
[3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)=\tfrac{3}{2}\cos(3x)\sin(2x).]
Logo
[3\cos(3x)\cos(x)\sin(x)=\tfrac{3}{2}\cos(3x)\sin(2x).]
Logo
Passo 7
final_answer