Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
sin (x^2)x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = sinl(x^2r)x^2,
então vamos usar as regras de derivação: primeiro reescrevemos como produto para depois aplicar produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevendo
f(x) = x^-2,sinl(x^2r)
Aqui temos um produto entre u(x)=x^-2 e v(x)=sin(x^2).

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Calculamos cada derivada:
- u'(x) = l(x^-2r)' = -2,x^-3
- Para v(x)=sin(x^2), pela regra da cadeia
v'(x)=cosl(x^2r)cdot (x^2)' = cosl(x^2r)cdot 2x

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) = l(-2,x^-3r)sinl(x^2r) + x^-2,l(2xcosl(x^2r)r)
Isso é
f'(x) = -2,sin(x^2)x^3 + 2x,cos(x^2)x^2 = -2,sin(x^2)x^3 + 2,cos(x^2)x

Passo 5

Para combinar num único quociente, colocamos denominador comum x^3:
-2,sin(x^2)x^3 + 2,cos(x^2)x = -2,sin(x^2) + 2x^2cos(x^2)x^3 = 2l(x^2cos(x^2) - sin(x^2)r)x^3

Resposta

f'(x) = 2l(x^2cos(x^2) - sin(x^2)r)x^3

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