Verifique que ointC y^2 d x+(2 x y-3) d y=0, sendo C a elipse x^2+4 y^2=4. Calcule a integral ao longo do arco dessa elipse, situado no primeiro quadrante

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
ointCy^2,dx+(2xy-3),dy=0
onde C é a elipse x^2+4y^2=4, e em seguida calcular essa mesma integral ao longo do arco da elipse situado no primeiro quadrante. O conteúdo envolvido é integral de linha de campo conservativo (exato), usando potencial.

Passo 2

Definimos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=2xy-3
Calculamos
partial Ppartial y=2y, partial Qpartial x=2y,
logo partial P/partial y=partial Q/partial x e o campo é conservativo (exato).

Passo 3

Existe função potencial f(x,y) tal que
df = P,dx + Q,dy
Integramos P em x:
f(x,y)=integral y^2,dx = x,y^2 + h(y)
Derivando em y:
fy=2xy + h'(y) = Q=2xy-3 ;Longrightarrow; h'(y)=-3 ;Longrightarrow; h(y)=-3y
Assim
f(x,y)=x,y^2-3y

Passo 4

Para qualquer curva de (x0,y0) a (x1,y1) no campo exato vale
integral P,dx+Q,dy = f(x1,y1)-f(x0,y0)
No arco em primeiro quadrante a orientação positiva leva de (2,0) a (0,1). Logo
integralarcoy^2,dx+(2xy-3),dy = f(0,1)-f(2,0) = l(0cdot1^2-3cdot1r) - l(2cdot0^2-3cdot0r) = -3

Resposta

-3

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