Seja
uma região nas hipóteses do teorema de Green. Utilizando o teorema, verifique que as coordenadas do centroide de
são dadas por:
onde
área
(a) Ache o centróide do triângulo de vértices
e
.
(b) Ache o centróide da região definida por
tal que
(a) Ache o centróide do triângulo de vértices
(b) Ache o centróide da região definida por
Passo 1
O enunciado fornece as fórmulas do centróide de uma região
em
via o teorema de Green:
onde
. Vamos aplicar isso em dois casos:
- Triângulo com vértices
, , . - Região semicircular
, .
Passo 2
Caso do triângulo. A área é
Para calcular
precisamos de
No contorno orientado positivamente:
No segmento de a
tem
, logo contribui
.
No segmento de a
usamos a parametrização
No segmento de
No segmento de
então
e
No segmento de
a
temos
, contribui
.
Portanto
Portanto
e
Passo 3
Ainda no triângulo, para
calculamos
No segmento de
a
,
, é
.
No segmento de a
com
,
,
, vem
No segmento de
No último segmento
, dá
. Logo
e
Passo 4
Agora a região semicircular
,
. A área é
Passo 5
Para
vemos que, por simetria
, deve dar zero. Confirmando por integral única não-nula (arco de círculo):
Logo
.
Para só o arco contribui, pois na corda
temos
. No arco
,
,
,
Para
Então
Resposta
(a) Para o triângulo,
(b) Para a região semicircular,
(b) Para a região semicircular,