Seja D subset R^2 uma região nas hipóteses do teorema de Green. Utilizando o teorema, verifique que as coordenadas do centroide de D são dadas por:
barx=12 A ointpartial D x^2 d y, bary=-12 A ointpartial D y^2 d x
onde A= área (D)
(a) Ache o centróide do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1).
(b) Ache o centróide da região definida por x^2+y^2 <= 1 tal que y >= 0

Passo 1

O enunciado fornece as fórmulas do centróide de uma região D em R^2 via o teorema de Green:
barx=12A,ointpartial Dx^2,dy, bary=-12A,ointpartial Dy^2,dx,
onde A=área(D)á. Vamos aplicar isso em dois casos:
  1. Triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1).
  2. Região semicircular x^2+y^2<=1, y>=0.

Passo 2

Caso do triângulo. A área é
A=1cdot12=12
Para calcular barx precisamos de
ointpartial Dx^2,dy
No contorno orientado positivamente:
No segmento de (0,0) a (1,0) tem y=0implies dy=0, logo contribui 0.
No segmento de (1,0) a (0,1) usamos a parametrização
x=1-s, y=s, sin[0,1],
então dy=ds e
integral0^1x^2,dy =integral0^1(1-s)^2,ds =gl[s-!s^2+tfracs^33gr]0^1 =13
No segmento de (0,1) a (0,0) temos x=0implies x^2=0, contribui 0.
Portanto
ointpartial Dx^2,dy=13,
e
barx =12A,13 =12cdot12,13 =13

Passo 3

Ainda no triângulo, para bary calculamos
ointpartial Dy^2,dx
No segmento de (0,0) a (1,0), y=0implies y^2=0, é 0.
No segmento de (1,0) a (0,1) com x=1-s, y=s, dx=-ds, vem
integral0^1y^2,dx =integral0^1 s^2(-ds) =-integral0^1s^2,ds =-13
No último segmento x=0implies dx=0, dá 0. Logo
ointpartial Dy^2,dx=-13,
e
bary =-12Al(-13r) =12cdot12,13 =13

Passo 4

Agora a região semicircular x^2+y^2<=1, y>=0. A área é
A=12picdot1^2=pi2

Passo 5

Para barx vemos que, por simetria xmapsto -x, deve dar zero. Confirmando por integral única não-nula (arco de círculo):
oint x^2,dy =integral0^picos^2t,d(sin t) =integral0^picos^2tcos t,dt =integral0^picos^3t,dt =0
Logo barx=0.
Para bary só o arco contribui, pois na corda y=0 temos y^2=0. No arco x=cos t, y=sin t, tin[0,pi],
oint y^2,dx =integral0^pisin^2t,d(cos t) =integral0^pisin^2t(-sin t,dt) =-integral0^pisin^3t,dt =-43
Então
bary =-12Al(-tfrac43r) =12cdotpi2,43 =43pi

Resposta

(a) Para o triângulo,
l(barx,baryr)=l(tfrac13,tfrac13r)
(b) Para a região semicircular,
l(barx,baryr)=l(0,tfrac43pir)

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