Verificar se as seguintes integrais convergem:
integral0^infty e^-x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
integral0^infty e^-xsin x,dx
é convergente. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias, e vamos usar o critério de comparação para mostrar convergência absoluta.

Passo 2

Para x>=0 vale lvertsin xrvert<=1. Logo,
llvert e^-xsin xrrvert <= e^-x
Sabemos que
integral0^infty e^-x,dx = l[-e^-xr]0^infty = 1,
ou seja, é finita.

Passo 3

Como integral0^infty e^-x,dx converge, por comparação absoluta conclui-se que
integral0^infty e^-xsin x,dx
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A integral integral0^infty e^-xsin x,dx é convergente (converge absolutamente).

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