Calcule
onde
é igual a:
Passo 1
A questão pede para calcular a derivada de f(x)=x^{-3}·sin²(x). Vamos usar a regra do produto (para derivar dois fatores) e a regra da cadeia (para derivar sin²(x)).
Passo 2
Vamos escrever f(x) como um produto de duas funções: u(x)=x^{-3) e v(x)=sin²(x). Assim, f(x)=u(x)·v(x).
Passo 3
Calculando u’(x):
Usamos a fórmula de derivada de potência, ou seja, se u(x)=xⁿ então u’(x)=n·xⁿ⁻¹. Aqui n=−3, portanto u’(x)=−3·x^(−4).
Usamos a fórmula de derivada de potência, ou seja, se u(x)=xⁿ então u’(x)=n·xⁿ⁻¹. Aqui n=−3, portanto u’(x)=−3·x^(−4).
Passo 4
Calculando v’(x):
v(x)=[sin(x)]². Pela regra da cadeia, derivamos o quadrado e depois sin(x): primeiro 2·sin(x), depois multiplicamos por cos(x). Logo, v’(x)=2·sin(x)·cos(x).
v(x)=[sin(x)]². Pela regra da cadeia, derivamos o quadrado e depois sin(x): primeiro 2·sin(x), depois multiplicamos por cos(x). Logo, v’(x)=2·sin(x)·cos(x).
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto: f’(x)=u’(x)·v(x)+u(x)·v’(x).
Passo 6
Substituindo u, u’, v e v’ e simplificando, temos: