Verifique se cada uma das sequências an=(-1)^n-1 ln (n+1) a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:

Passo 1

O exercício pede para checar se a sequência an = (-1)^n-1ln(n+1) é constante, crescente, decrescente ou não monótona. O tema é monotonicidade de sequências e vamos precisar comparar an+1 com an.

Passo 2

Para investigar monotonicidade, calculamos a diferença an+1 - an. Temos:
an+1 - an = (-1)^nln(n+2) - (-1)^n-1ln(n+1) = (-1)^n-1l(-ln(n+2) - ln(n+1)r) = (-1)^nl(ln(n+2) + ln(n+1)r)

Passo 3

Note que ln(n+2)+ln(n+1)>0 para todo n. Assim, o sinal de an+1-an é dado por (-1)^n, ou seja, ele alterna: para n par a diferença é positiva e para n ímpar a diferença é negativa.
Como an+1-an muda de sinal a cada passo, a sequência não é nem crescente nem decrescente. Podemos ainda observar que as subsequências de índices ímpares e pares são monotônicas (ímpares crescentes e pares decrescentes), mas globalmente não há monotonicidade.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a sequência não é monótona.

Resposta

A sequência não é monótona.

Exercícios relacionados