Verifique se cada uma das sequências an=arctg n a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar se a sequência an=arctg n é constante, crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo é o de sequências monótonas e vamos precisar usar a propriedade de monotonicidade da função arctan.

Passo 2

Antes de mais nada, vale lembrar que uma sequência (an) é estritamente crescente se an+1>an para todo n. Para relacionar isso com a função arctan, vamos usar o fato de que, em geral, composição de funções mantém a monotonicidade.

Passo 3

A função f(x)=arctan x tem derivada
f'(x)=11+x^2
Como 1+x^2>0 para todo x, segue que f'(x)>0. Isso significa que arctan x é estritamente crescente em todo R.

Passo 4

Agora aplicando isso à sequência: como n+1>n para todo ninN e arctan é crescente, temos
arctan(n+1)>arctan(n),
ou seja, an+1>an para todo n. Logo a sequência é estritamente crescente.

Resposta

Estritamente crescente

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