calcule f^prime prime(x), onde:
f(x)=sen 5 x e^3 x

Passo 1

O exercício pede para calcular a segunda derivada de f(x)=sen(5x)e^3x. Vamos usar as regras de produto e cadeia de derivação.

Passo 2

Aplicar a regra do produto para obter f'(x). Se u(x)=sen(5x) e v(x)=e^3x, então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Aqui
u'(x)=5cos(5x), v'(x)=3e^3x
Logo
f'(x)=5cos(5x)e^3x+3sen(5x)e^3x=e^3xl(5cos(5x)+3sen(5x)r)

Passo 3

Calcular f''(x) derivando f'(x)=e^3x(5cos(5x)+3sen(5x)). Novamente usamos produto e cadeia:
f''(x)=ddx[e^3x],(5cos(5x)+3sen(5x))+e^3xddx[5cos(5x)+3sen(5x)]
Temos
ddx[e^3x]=3e^3x,
ddx[5cos(5x)]=5(-sin(5x)cdot5)=-25sen(5x),
ddx[3sen(5x)]=3(cos(5x)cdot5)=15cos(5x)
Substituindo,
f''(x)=3e^3x(5cos(5x)+3sen(5x))+e^3x(-25sen(5x)+15cos(5x))

Passo 4

Fatorar e^3x e agrupar termos semelhantes de cos(5x) e sen(5x):
f''(x)=e^3xl(15cos(5x)+9sen(5x)-25sen(5x)+15cos(5x)r) =e^3xl(30cos(5x)-16sen(5x)r)

Resposta

f''(x)=e^3xl(30cos(5x)-16sen(5x)r)

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