Calcule h^prime(x), onde:
h(x)=a^x, a>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ h(x) = a^{x} $, onde $ a > 1 $. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais que têm uma base qualquer, não só o número $ e $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de uma função exponencial básica. Sabemos que a derivada de $ e^{x} $ é simplesmente $ e^{x} $. Isso porque a função exponencial com base $ e $ é especial: ela é a única função cuja derivada é igual a ela mesma.

Passo 3

Agora, quando a base não é $ e $, mas sim algum outro número $ a $ maior que 1, a coisa muda um pouquinho. A derivada de $ a^{x} $ não é apenas $ a^{x} $, tem um fator extra. Esse fator é o logaritmo natural de $ a $, que é escrito como $ \ln(a) $.
Então, para derivar $ h(x) = a^{x} $, multiplicamos a função original $ a^{x} $ pelo logaritmo natural da base $ a $. Isso nos dá a fórmula geral para a derivada de uma função exponencial com base $ a $.

Resposta

A derivada de $ h(x) = a^{x} $ é:
h(x) = a^x

Exercícios relacionados