Calcule
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a segunda derivada
da função dada. Informações fornecidas:
- Função:
. - Pergunta: encontrar
(a segunda derivada). - Observação importante: a função não está definida em
; portanto as derivadas só fazem sentido para .
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação. Usamos a notação de potência:
Essa reescritura transforma uma fração numa potência negativa, o que é útil porque a regra da potência é direta.
Passo 3
Relembrando duas regras que usaremos (explicadas passo a passo):
- Regra da potência (caso simples): para
com constante, vale
Aqui
é a variável e
é o expoente; a regra diz que multiplicamos por
e diminuímos o expoente em
.
- Regra da cadeia (forma prática): se
, onde é uma função interna, então
Ou seja, aplicamos a regra da potência à função interna e multiplicamos pela derivada da parte interna
. No nosso caso a parte interna será
, cuja derivada é
.
Passo 4
Agora calculamos a primeira derivada usando as regras acima. Tomando
e aplicando a regra da cadeia com
e
, obtemos
Como
, isso dá
Em forma de fração:
Passo 5
Explicando o passo anterior de uma forma bem concreta: tirou-se o expoente
para frente (multiplicando) e diminuiu-se o expoente em
, ficando
; como a derivada de
é
, não aparece fator extra.
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada, isto é, a derivada de
. Aplicamos novamente a regra da cadeia / potência com
e
:
Novamente
, portanto
Em forma de fração:
Passo 7
Verificações rápidas e observações úteis para a prova:
- Em cada aplicação da regra da cadeia multiplicou-se pela derivada da parte interna, que aqui foi sempre
porque a parte interna era . - Sinal: ao derivar duas vezes, o sinal inicial negativo de
virou positivo em por causa do fator . - Domínio: a expressão de
só vale para , pois a função original não está definida em . - Padrão geral: para
tem-se e .