Calcule f^{\prime \prime}(x) das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada f''(x) da função dada. Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{x-4}.
  • Pergunta: encontrar f''(x) (a segunda derivada).
  • Observação importante: a função não está definida em x=4; portanto as derivadas só fazem sentido para x\neq4.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação. Usamos a notação de potência:
f(x)=\dfrac{1}{x-4}=(x-4)^{-1}.
Essa reescritura transforma uma fração numa potência negativa, o que é útil porque a regra da potência é direta.

Passo 3

Relembrando duas regras que usaremos (explicadas passo a passo):
  • Regra da potência (caso simples): para g(x)=x^{n} com n constante, vale
g'(x)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a regra diz que multiplicamos por n e diminuímos o expoente em 1.
  • Regra da cadeia (forma prática): se h(x)=u(x)^{n}, onde u(x) é uma função interna, então
h'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Ou seja, aplicamos a regra da potência à função interna e multiplicamos pela derivada da parte interna u'(x). No nosso caso a parte interna será u(x)=x-4, cuja derivada é u'(x)=1.

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada usando as regras acima. Tomando f(x)=(x-4)^{-1} e aplicando a regra da cadeia com n=-1 e u(x)=x-4, obtemos
f'(x) = -1\cdot (x-4)^{-1-1}\cdot (x-4)'\,.
Como (x-4)'=1, isso dá
f'(x) = -1\cdot (x-4)^{-2} = - (x-4)^{-2}.
Em forma de fração:
f'(x) = -\dfrac{1}{(x-4)^{2}}.

Passo 5

Explicando o passo anterior de uma forma bem concreta: tirou-se o expoente -1 para frente (multiplicando) e diminuiu-se o expoente em 1, ficando -2; como a derivada de x-4 é 1, não aparece fator extra.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada, isto é, a derivada de f'(x)=-(x-4)^{-2}. Aplicamos novamente a regra da cadeia / potência com n=-2 e u(x)=x-4:
f''(x) = -\bigl(-2\bigr)\cdot (x-4)^{-2-1}\cdot (x-4)'\,.
Novamente (x-4)'=1, portanto
f''(x) = -(-2)\cdot (x-4)^{-3} = 2\,(x-4)^{-3}.
Em forma de fração:
f''(x) = \dfrac{2}{(x-4)^{3}}.

Passo 7

Verificações rápidas e observações úteis para a prova:
  • Em cada aplicação da regra da cadeia multiplicou-se pela derivada da parte interna, que aqui foi sempre 1 porque a parte interna era x-4.
  • Sinal: ao derivar duas vezes, o sinal inicial negativo de f' virou positivo em f'' por causa do fator -2.
  • Domínio: a expressão de f''(x) só vale para x\neq4, pois a função original não está definida em x=4.
  • Padrão geral: para g(x)=\dfrac{1}{x-a}=(x-a)^{-1} tem-se g'(x)=- (x-a)^{-2} e g''(x)=2(x-a)^{-3}.

Resposta

f''(x)=\dfrac{2}{(x-4)^{3}},\quad x\neq4

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