Calcule f^{\prime \prime}(x) das seguintes funções:
f(x)=\frac{2 x}{3 x-3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular f''(x) para a função dada. A função fornecida é
f(x)=\frac{2x}{3x-3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é racional e tem denominador 3x-3.
  • Domínio natural da função: todos os x tais que 3x-3\neq0, ou seja x\neq1.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão de f(x) para deixar a diferenciação mais direta. Faço uma fatoração no denominador:
f(x)=\frac{2x}{3x-3}=\frac{2x}{3(x-1)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{x}{x-1}.
Agora escrevo \dfrac{x}{x-1} de uma forma que seja fácil derivar:
\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.
Portanto
f(x)=\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x-1}.
Para facilitar a aplicação da regra da potência, escrevo o termo em potências:
f(x)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}(x-1)^{-1}.

Passo 3

Vou usar regras básicas de derivação (muito úteis na prova; decora bem):
  • Regra da constante: a derivada de uma constante C é 0. \frac{d}{dx}C=0.
  • Regra do fator constante: se C é constante então \dfrac{d}{dx}\big(C\cdot g(x)\big)=C\cdot g'(x).
  • Regra da potência (aplicada a (x-a)^n): se g(x)=(x-a)^n então g'(x)=n(x-a)^{n-1}\cdot\frac{d}{dx}(x-a)=n(x-a)^{n-1}.(a derivada de x-a é 1).
  • Regra da cadeia foi usada implicitamente na forma acima; aqui o “interno” é x-1 cuja derivada é 1.
Com isso estamos prontos para derivar termo a termo.

Passo 4

Calculo a primeira derivada f'(x) aplicando as regras ao resultado do Passo 2:
  • A derivada de \dfrac{2}{3} é 0.
  • A derivada de \dfrac{2}{3}(x-1)^{-1} é \dfrac{2}{3} vezes a derivada de (x-1)^{-1}. Pela regra da potência, \frac{d}{dx}(x-1)^{-1}=-1(x-1)^{-2}.
Então
f'(x)=0+\frac{2}{3}\cdot\big(-1(x-1)^{-2}\big)=-\frac{2}{3}(x-1)^{-2}.
Reescrevendo em forma de fração:
f'(x)=-\frac{2}{3(x-1)^2}.

Passo 5

Agora calculo a segunda derivada f''(x). Parto da forma f'(x)=-\dfrac{2}{3}(x-1)^{-2}. Uso novamente a regra da potência (e o fator constante):
\frac{d}{dx}\big((x-1)^{-2}\big)=-2(x-1)^{-3}.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{2}{3} que estava na frente:
f''(x)=-\frac{2}{3}\cdot\big(-2(x-1)^{-3}\big)=\frac{4}{3}(x-1)^{-3}.

Passo 6

Volto à notação em fração para deixar a resposta bem limpa:
f''(x)=\frac{4}{3(x-1)^3},
com a ressalva do domínio: válido para x\neq1.

Resposta

\displaystyle f''(x)=\frac{4}{3(x-1)^3}

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