Calcule
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular
para a função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é racional e tem denominador
. - Domínio natural da função: todos os
tais que , ou seja .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão de
para deixar a diferenciação mais direta. Faço uma fatoração no denominador:
Agora escrevo
de uma forma que seja fácil derivar:
Portanto
Para facilitar a aplicação da regra da potência, escrevo o termo em potências:
Passo 3
Vou usar regras básicas de derivação (muito úteis na prova; decora bem):
- Regra da constante: a derivada de uma constante
é . - Regra do fator constante: se
é constante então . - Regra da potência (aplicada a
): se então (a derivada de é ). - Regra da cadeia foi usada implicitamente na forma acima; aqui o “interno” é
cuja derivada é .
Com isso estamos prontos para derivar termo a termo.
Passo 4
Calculo a primeira derivada
aplicando as regras ao resultado do Passo 2:
- A derivada de
é . - A derivada de
é vezes a derivada de . Pela regra da potência,
Então
Reescrevendo em forma de fração:
Passo 5
Agora calculo a segunda derivada
. Parto da forma
. Uso novamente a regra da potência (e o fator constante):
Multiplicando pelo fator
que estava na frente:
Passo 6
Volto à notação em fração para deixar a resposta bem limpa:
com a ressalva do domínio: válido para
.