Calcule F^{\prime}(x) sendo f(x) igual a e^{x} \operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x}\operatorname{sen}x\cos x
e pede para calcular F'(x). Interpreto que F é uma primitiva (antiderivada) de f ou que F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt para algum a. Ou seja, o que se quer é a derivada da função cuja derivada é f.

Passo 2

Lembrando um resultado básico (Teorema Fundamental do Cálculo / definição de primitiva):
\text{Se }F'(x)=f(x)\text{ para todo }x\text{ (ou se }F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\text{)},\text{ então } F'(x)=f(x).ã
Explicando devagar: uma primitiva F de f é uma função tal que, para cada x,
F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x).
No caso F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt, temos
\frac{d}{dx}\!\left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)=f(x),
desde que f seja contínua. Então, se F for primitiva de f, calcular F'(x) é imediato: é f(x) mesma.

Passo 3

Aplicando o que foi dito ao caso dado:
F'(x)=f(x)=e^{x}\operatorname{sen}x\cos x.
Isso já responde diretamente. Mas dá para deixar a resposta um pouco mais simples usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Usando a identidade de ângulo duplo para o seno:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Dividindo por 2 obtemos
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
Substituindo em f(x):
f(x)=e^{x}\sin x\cos x = e^{x}\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2x)=\tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x).
Portanto uma forma mais compacta de escrever F'(x) é \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x).

Resposta

F'(x)=e^{x}\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x)

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