Calcule f(x) em que f(x) é igual a x \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) definida por
f(x)=x\operatorname{sen}x
(equivalente a f(x)=x\sin x). A pergunta é: calcular f(x).

Passo 2

O enunciado está um pouco ambíguo: aparentemente já foi dada a expressão de f(x). Em exercícios comuns da disciplina, quando pedem “calcule” para uma função dada por produto como x\sin x geralmente querem calcular a derivada f'(x). Vou seguir essa interpretação e calcular f'(x). Se você queria outra coisa (por exemplo uma primitiva \int f(x)\,dx ou um valor numérico), diga depois e eu faço.

Passo 3

Para calcular a derivada de um produto usamos a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte: se
u(x)\quad\text{e}\quad v(x)
são funções diferenciáveis, e definimos \,w(x)=u(x)v(x), então
w'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando em palavras: a derivada do produto é “derivar a primeira e multiplicar pela segunda, mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda”.

Passo 4

Agora identificamos as duas funções que compõem o produto em f(x). Tomamos
u(x)=x,\qquad v(x)=\sin x.
Vou calcular as derivadas de u e v:
  • A derivada de u(x)=x é
u'(x)=1,
porque a taxa de variação de x em relação a x é 1.
  • A derivada de v(x)=\sin x é a função
v'(x)=\cos x.
(Isto é uma derivada padrão: a derivada do seno é o cosseno.)

Passo 5

Aplicando a regra do produto w'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) com os valores acima:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
Simplificando:
f'(x)=\sin x + x\cos x.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se x=\pi,
f'(\pi)=\sin\pi + \pi\cos\pi = 0 + \pi\cdot(-1) = -\pi.
Isso mostra como usar a fórmula para obter valores concretos na prova.

Resposta

f'(x)=\sin x + x\cos x

Exercícios relacionados