Prove que a equação x^{3}+x^{2}-5 x+1=0 admite três raízes reais distintas. Localize tais raízes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) provar que a equação x^{3}+x^{2}-5x+1=0 tem três raízes reais distintas; (ii) localizar (dar intervalos contendo) essas raízes.
Informações dadas:
  • A equação é a da função polinomial f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1.
  • Polinômios são funções contínuas e diferenciáveis em todo \mathbb{R}.
Não vou resolver nada ainda; só marquei o que foi pedido e o que a questão fornece.

Passo 2

Vamos estudar a derivada para entender o comportamento da função (onde cresce/decresce e possíveis extremos), porque isso ajuda a saber quantas vezes a curva cruza o eixo x.
A derivada é
f'(x)=3x^{2}+2x-5.
Para encontrar os pontos críticos resolvemos f'(x)=0. Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot 3\cdot(-5)=4+60=64.
Como \Delta=64 é um quadrado perfeito, as raízes de f' são
x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 8}{6}.
Logo os pontos críticos são
x_{1}=\frac{-2-8}{6}=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3},\qquad x_{2}=\frac{-2+8}{6}=\frac{6}{6}=1.

Passo 3

Classificamos esses pontos críticos (máximo/mínimo) usando a segunda derivada:
f''(x)=6x+2.
Avaliações:
f''\!\left(-\frac{5}{3}\right)=6\left(-\frac{5}{3}\right)+2=-10+2=-8<0,
portanto x=-\dfrac{5}{3} é um ponto de máximo local.
f''(1)=6\cdot 1+2=8>0,
portanto x=1 é um ponto de mínimo local.
Assim a função cresce em (-\infty,-\tfrac{5}{3}), decresce em (-\tfrac{5}{3},1) e cresce em (1,\infty). Em particular há um máximo local em -\tfrac{5}{3} e um mínimo local em 1.

Passo 4

Calculemos os valores de f nesses extremos para ver os sinais (isso nos dá ideia se a curva corta o eixo x três vezes):
Primeiro
f\!\left(-\frac{5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3}\right)^{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}-5\left(-\frac{5}{3}\right)+1.
Fazendo as contas com denominador 27:
\left(-\frac{5}{3}\right)^{3}=-\frac{125}{27},\quad \left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}=\frac{75}{27},\quad -5\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{25}{3}=\frac{225}{27},\quad 1=\frac{27}{27}.
Somando:
f\!\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{-125+75+225+27}{27}=\frac{202}{27}>0.
Agora
f(1)=1^{3}+1^{2}-5\cdot 1+1=1+1-5+1=-2<0.
Conclusão: o máximo local tem valor positivo e o mínimo local tem valor negativo. Pelo comportamento de um polinômio do 3º grau com coeficiente dominante positivo (vai a -\infty quando x\to -\infty e a +\infty quando x\to+\infty), isso implica que o gráfico da função intercepta o eixo x em três pontos distintos: primeiro sobe vindO de -\infty cruza para ficar positivo, atinge um máximo positivo, depois desce cruza para ficar negativo, atinge um mínimo negativo, e finalmente sobe cruzando novamente para positivo. Portanto existem três raízes reais (e distintas, porque as interseções ocorrem em pontos com sinais trocados, não tangenciais).

Passo 5

Agora vamos localizar as três raízes exibindo intervalos com troca de sinal e usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se f é contínua e f(a)f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Calculemos alguns valores simples:
f(-3)=(-27)+9+15+1=-2<0,
f(-2)=(-8)+4+10+1=7>0.
Como f(-3)<0 e f(-2)>0, o TVI garante uma raiz em (-3,-2).
Para a raiz do meio:
f(-1)=(-1)+1+5+1=6>0,
f(1)=-2<0.
Como f(-1)>0 e f(1)<0, há uma raiz em (-1,1). Observe que (-1,1)\subset\!\left(-\tfrac{5}{3},1\right), a região onde f é estritamente decrescente, logo nessa região existe exatamente uma raiz.
Para a raiz à direita:
f(2)=8+4-10+1=3>0,
e já temos f(1)=-2<0, então o TVI garante uma raiz em (1,2).

Passo 6

Uniqueness nas regiões monotônicas: como f é estritamente crescente em (-\infty,-\tfrac{5}{3}), estritamente decrescente em (-\tfrac{5}{3},1) e estritamente crescente em (1,\infty), cada um dos três intervalos acima ( (-3,-2)\subset(-\infty,-\tfrac{5}{3}), (-1,1)\subset(-\tfrac{5}{3},1), (1,2)\subset(1,\infty)) contém exatamente uma raiz. Assim as três raízes são distintas.

Resposta

A equação tem três raízes reais distintas.
Uma raiz em (-3,-2).
Uma raiz em (-1,1).
Uma raiz em (1,2).

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