Prove que a equação
admite três raízes reais distintas. Localize tais raízes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) provar que a equação
tem três raízes reais distintas; (ii) localizar (dar intervalos contendo) essas raízes.
Informações dadas:
- A equação é a da função polinomial
. - Polinômios são funções contínuas e diferenciáveis em todo
.
Não vou resolver nada ainda; só marquei o que foi pedido e o que a questão fornece.
Passo 2
Vamos estudar a derivada para entender o comportamento da função (onde cresce/decresce e possíveis extremos), porque isso ajuda a saber quantas vezes a curva cruza o eixo
.
A derivada é
Para encontrar os pontos críticos resolvemos
. Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
Como
é um quadrado perfeito, as raízes de
são
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Classificamos esses pontos críticos (máximo/mínimo) usando a segunda derivada:
Avaliações:
portanto
é um ponto de máximo local.
portanto
é um ponto de mínimo local.
Assim a função cresce em
, decresce em
e cresce em
. Em particular há um máximo local em
e um mínimo local em
.
Passo 4
Calculemos os valores de
nesses extremos para ver os sinais (isso nos dá ideia se a curva corta o eixo
três vezes):
Primeiro
Fazendo as contas com denominador
:
Somando:
Agora
Conclusão: o máximo local tem valor positivo e o mínimo local tem valor negativo. Pelo comportamento de um polinômio do 3º grau com coeficiente dominante positivo (vai a
quando
e a
quando
), isso implica que o gráfico da função intercepta o eixo
em três pontos distintos: primeiro sobe vindO de
cruza para ficar positivo, atinge um máximo positivo, depois desce cruza para ficar negativo, atinge um mínimo negativo, e finalmente sobe cruzando novamente para positivo. Portanto existem três raízes reais (e distintas, porque as interseções ocorrem em pontos com sinais trocados, não tangenciais).
Passo 5
Agora vamos localizar as três raízes exibindo intervalos com troca de sinal e usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
é contínua e
, então existe
tal que
.
Calculemos alguns valores simples:
Como
e
, o TVI garante uma raiz em
.
Para a raiz do meio:
Como
e
, há uma raiz em
. Observe que
, a região onde
é estritamente decrescente, logo nessa região existe exatamente uma raiz.
Para a raiz à direita:
e já temos
, então o TVI garante uma raiz em
.
Passo 6
Uniqueness nas regiões monotônicas: como
é estritamente crescente em
, estritamente decrescente em
e estritamente crescente em
, cada um dos três intervalos acima (
,
,
) contém exatamente uma raiz. Assim as três raízes são distintas.
Resposta
A equação tem três raízes reais distintas.
Uma raiz em .
Uma raiz em .
Uma raiz em .
Uma raiz em
Uma raiz em
Uma raiz em