Calcule f(x) em que f(x) é igual a x^{2} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{2}\operatorname{tg}x\, e pede para "Calcule f(x)". Como a expressão de f(x) já está dada, a interpretação razoável (e o que costuma ser pedido em exercícios assim) é calcular a derivada de f, ou seja \,f'(x). Vou então calcular \,f'(x). As informações relevantes:
  • \,f(x)=x^{2}\operatorname{tg}x.
  • Objetivo: encontrar \,f'(x) (a derivada de f em função de x).

Passo 2

Identificar a estrutura da função para escolher a regra de diferenciação correta. A função é produto de duas funções de x:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\operatorname{tg}x.
Para derivar um produto usa-se a regra do produto:
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 3

Calcular u'(x) usando a regra do poder (power rule). A regra diz que para \,u(x)=x^{n} vale \,u'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=2:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 4

Calcular v'(x) onde v(x)=\operatorname{tg}x. Conhecimento importante: a derivada da tangente é a secante ao quadrado. Isto é,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
(Se quiser verificar rapidamente: escrevendo \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicando a regra do quociente obtém-se \dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.)

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados dos passos anteriores. Substituindo u,u',v,v' na fórmula (uv)'=u'v+uv' obtemos:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=2x\cdot\operatorname{tg}x + x^{2}\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Opcionalmente podemos factorar um fator comum para uma forma alternativa e às vezes mais compacta. Por exemplo:
f'(x)=x\!\left(2\operatorname{tg}x + x\operatorname{sec}^{2}x\right).
Ambas as formas são equivalentes e corretas.

Resposta

f'(x)=2x\operatorname{tg}x+x^{2}\operatorname{sec}^{2}x

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