Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para "Calcule
". Como a expressão de
já está dada, a interpretação razoável (e o que costuma ser pedido em exercícios assim) é calcular a derivada de
, ou seja
. Vou então calcular
. As informações relevantes:
-
. - Objetivo: encontrar
(a derivada de em função de ).
Passo 2
Identificar a estrutura da função para escolher a regra de diferenciação correta. A função é produto de duas funções de
:
Para derivar um produto usa-se a regra do produto:
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. Vou calcular
e
separadamente.
Passo 3
Calcular
usando a regra do poder (power rule). A regra diz que para
vale
.
Aplicando com :
Aplicando com
Passo 4
Calcular
onde
. Conhecimento importante: a derivada da tangente é a secante ao quadrado. Isto é,
(Se quiser verificar rapidamente: escrevendo
e aplicando a regra do quociente obtém-se
.)
Passo 5
Aplicar a regra do produto com os resultados dos passos anteriores. Substituindo
na fórmula
obtemos:
Passo 6
Opcionalmente podemos factorar um fator comum para uma forma alternativa e às vezes mais compacta. Por exemplo:
Ambas as formas são equivalentes e corretas.