Calcule f^prime(x) usando a definição:
(a) ; f(x)=x^2-x+3

Passo 1

A questão pede pra gente encontrar a derivada de f(x)=x²−x+3 usando a definição de derivada, ou seja, dependendo do conceito de limite. Vamos precisar usar exatamente a fórmula do limite do quociente incremental.

Passo 2

A definição de derivada é dada por
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui a ideia é substituir f(x+h) e f(x) e depois calcular esse limite.

Passo 3

Primeiro, calcule f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^2-(x+h)+3=x^2+2xh+h^2-x-h+3

Passo 4

Agora devemos formar a diferença f(x+h)−f(x):
f(x+h)-f(x)=(x^2+2xh+h^2-x-h+3)-(x^2-x+3)=2xh+h^2-h

Passo 5

Divida essa diferença por h e simplifique:
f(x+h)-f(x)h=2xh+h^2-hh=2x+h-1

Passo 6

Por fim, aplicamos o limite quando h→0:
f'(x)=limhto0(2x+h-1)=2x-1

Resposta

f’(x)=2x-1

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