Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
Passo 1
Estamos derivando a função f(x) = (cos x)^x. O conteúdo aqui é derivação de função com base e expoente variáveis, e vamos precisar usar a transformação para exponencial e a regra da cadeia.
Passo 2
Reescrevemos f(x) como exponencial usando que a^b = e^{b ln a}:
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=e^{g(x)}, então f’(x)=e^{g(x)}·g’(x). Aqui g(x)=x ln(cos x), logo
Passo 4
Calculamos g’(x) usando a regra do produto e derivada de ln(cos x):
E temos
Portanto
Passo 5
Substituímos g’(x) em f’(x) e voltamos à forma original de f(x):
Resposta
f’(x) = (\cos x)^x\bigl(\ln(\cos x) - x\tan x\bigr)