Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(e) ; f(x)=(cos x)^x

Passo 1

Estamos derivando a função f(x) = (cos x)^x. O conteúdo aqui é derivação de função com base e expoente variáveis, e vamos precisar usar a transformação para exponencial e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como exponencial usando que a^b = e^{b ln a}:
f(x) = (cos x)^x = e^x ln(cos x)

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=e^{g(x)}, então f’(x)=e^{g(x)}·g’(x). Aqui g(x)=x ln(cos x), logo
f'(x) = e^x ln(cos x) cdot g'(x)

Passo 4

Calculamos g’(x) usando a regra do produto e derivada de ln(cos x):
g(x)=xln(cos x)implies g'(x)=1cdotln(cos x)+xcdotddx[ln(cos x)]
E temos
ddx[ln(cos x)] = -sin xcos x = -tan x
Portanto
g'(x)=ln(cos x) - xtan x

Passo 5

Substituímos g’(x) em f’(x) e voltamos à forma original de f(x):
f'(x) = e^x ln(cos x)l(ln(cos x) - xtan xr) = (cos x)^xl(ln(cos x) - xtan xr)

Resposta

f’(x) = (\cos x)^x\bigl(\ln(\cos x) - x\tan x\bigr)

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