Determine os conjuntos A, B, C e D tais que seja possível definir a função gof, sendo f: A B, f(x)=x^2+2 x-2, g: C D, g(x)=raizx+1.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos conjuntos A, B, C e D de modo que f: A → B, f(x)=x²+2x−2 e g: C → D, g(x)=√(x+1) possam ser compostas em g∘f. O conteúdo aqui é domínio, imagem e composição de funções. Para compor g∘f precisamos que a imagem de f esteja contida no domínio de g.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de g. Como g(x)=√(x+1), o radicando deve ser não negativo, então
x+1 >= 0 implies x >= -1
Logo o domínio de g, que é C, deve ser C=[-1,∞). E a imagem de g será D=[0,∞), pois √(x+1) varia de 0 até o infinito.

Passo 3

Para que g∘f esteja bem definida precisamos de f(A)⊆C, isto é,
x^2+2x-2 >= -1
Resolvendo essa inequação:
x^2+2x-2+1 >= 0 implies x^2+2x-1 >= 0
As raízes de x²+2x-1=0 são x=−1±√2. Como a parábola é positiva fora das raízes, temos
x <= -1-raiz2ou x >= -1+raiz2

Passo 4

Portanto, devemos escolher A como a união desses intervalos para garantir f(A)⊆[-1,∞). A mínima escolha para B é a própria imagem de f sobre A, isto é B=[-1,∞).

Resposta

A = (-∞, -1-√2] ∪ [-1+√2, ∞), B = [-1, ∞), C = [-1, ∞), D = [0, ∞)

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