Calcule f^prime(x, y, z), sendo:
c) f(x, y, z)=ln sen(x-2 y)+z;

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de função de várias variáveis, ou seja, o gradiente de f(x,y,z). O conteúdo aqui é derivadas parciais e uso da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para encontrar ∂f/∂x, aplicamos a regra da cadeia em f(x,y,z)=ln sen(x−2y)+z. Primeiro derivamos ln(sen(u)) em relação a u dando 1/sen(u)·cos(u), com u=x−2y. Depois derivamos u em relação a x, que é 1. Logo: ∂f/∂x = (1/sen(x−2y))·cos(x−2y)·1 = cot(x−2y).

Passo 3

Para ∂f/∂y, seguimos o mesmo princípio: derivada de ln(sen(u)) em relação a u é 1/sen(u)·cos(u), e agora u=x−2y deriva em relação a y dando −2. Assim: ∂f/∂y = (1/sen(x−2y))·cos(x−2y)·(−2) = −2cot(x−2y).

Passo 4

Para ∂f/∂z, observamos que ln sen(x−2y) não depende de z, e a derivada de z em relação a z é 1. Logo: ∂f/∂z = 1.

Resposta

[\nabla f(x,y,z) = (\cot(x-2y),,-2\cot(x-2y),,1).\n]

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