Mostre que o campo abaixo é conservativo.
F=rho^-4 cos varphi rho+rho^-4 sin varphi varphi

Passo 1

O campo dado vive em coordenadas polares (ρ,φ) no plano e queremos checar se ele é conservativo, ou seja, se o rotacional em coordenadas polares se anula.

Passo 2

Em coordenadas polares, o único componente do rotacional é na direção z e vale
(nabla times F)z=1rhol(partialpartialrho(rho Fvarphi)-partial Frhopartialvarphir)

Passo 3

Aqui temos
Frho=rho^-4cosvarphi, Fvarphi=rho^-4sinvarphi
Então
partialpartialrho(rho Fvarphi)=partialpartialrho(rho^-3sinvarphi)=-3,rho^-4sinvarphi,
partial Frhopartialvarphi=partialpartialvarphi(rho^-4cosvarphi)=-rho^-4sinvarphi

Passo 4

Substituindo no rotacional obtemos
(nabla times F)z=1rhol(-3rho^-4sinvarphi-(-rho^-4sinvarphi)r)=-2,rho^-4sinvarphirho=-2,rho^-5sinvarphi
Como isso não é zero em geral, o rotacional não se anula.

Passo 5

Um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for identicamente zero no domínio considerado. Aqui encontramos um rotacional não-nulo, logo o campo NÃO é conservativo.

Resposta

O rotacional é $ -2,\rho^{-5}\sin\varphi$, que não se anula para todo -2,rho^-5sinvarphi. Portanto o campo não é conservativo.

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