Mostre que o campo abaixo é conservativo.
Passo 1
O campo dado vive em coordenadas polares (ρ,φ) no plano e queremos checar se ele é conservativo, ou seja, se o rotacional em coordenadas polares se anula.
Passo 2
Em coordenadas polares, o único componente do rotacional é na direção z e vale
Passo 3
Aqui temos
Então
Passo 4
Substituindo no rotacional obtemos
Como isso não é zero em geral, o rotacional não se anula.
Passo 5
Um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for identicamente zero no domínio considerado. Aqui encontramos um rotacional não-nulo, logo o campo NÃO é conservativo.
Resposta
O rotacional é $ -2,\rho^{-5}\sin\varphi$, que não se anula para todo
. Portanto o campo não é conservativo.