1. Considere a funçĩo f: R^n R definida por f(X)=|X|^2.
Prove que f^prime(X0)(X)=2 X0 X, para quaisquer X0 © X de R^n.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a derivada de Fréchet (ou diferencial) da função f:R^ntoR dada por f(X)=|X|^2. Para isso precisamos usar a definição de derivada como o operador linear que melhor aproxima o incremento de f em torno de um ponto X0.

Passo 2

Pela definição de derivada de Fréchet, queremos um operador linear A:R^ntoR tal que, para HinR^n pequeno, valha:
f(X0+H)=f(X0)+A(H)+o(|H|)

Passo 3

Vamos expandir f(X0+H) usando a norma:
f(X0+H)=|X0+H|^2=(X0+H)cdot(X0+H)=X0cdot X0+2,X0cdot H+Hcdot H

Passo 4

Note que X0cdot X0=|X0|^2=f(X0) e que Hcdot H=|H|^2 é um termo de ordem superior, ou seja, |H|^2=o(|H|). Portanto podemos escrever:
f(X0+H)=f(X0)+2,X0cdot H+o(|H|)

Passo 5

Da comparação entre esta expansão e a definição de derivada de Fréchet, vemos que o operador linear A deve ser
A(H)=2,X0cdot H
Isso mostra que a diferencial de f em X0, aplicada a um vetor X, é exatamente 2,X0cdot X.

Resposta

f’(X_0)(X)=2,X_0\cdot X

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