- Considere a funçĩo
definida por
.
Prove que
, para quaisquer
©
de
.
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a derivada de Fréchet (ou diferencial) da função
dada por
. Para isso precisamos usar a definição de derivada como o operador linear que melhor aproxima o incremento de
em torno de um ponto
.
Passo 2
Pela definição de derivada de Fréchet, queremos um operador linear
tal que, para
pequeno, valha:
Passo 3
Vamos expandir
usando a norma:
Passo 4
Note que
e que
é um termo de ordem superior, ou seja,
. Portanto podemos escrever:
Passo 5
Da comparação entre esta expansão e a definição de derivada de Fréchet, vemos que o operador linear
deve ser
Isso mostra que a diferencial de
Resposta
f’(X_0)(X)=2,X_0\cdot X