Calcule f^prime(x, y, z), sendo:
a) f(x, y, z)=x y z;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de ordem 1 (gradiente) da função de três variáveis f(x,y,z)=x,y,z. O conteúdo envolve derivadas parciais e regra do produto, e vamos precisar aplicar a definição de derivada parcial tratando duas variáveis como constantes.

Passo 2

A derivada parcial de f em relação a uma variável é obtida mantendo-se as outras fixas e derivando-se como se fosse uma função de variável única. Em fórmulas, para a variável x:
partial fpartial x(x,y,z)=limhto0f(x+h,y,z)-f(x,y,z)h

Passo 3

Aplicando a definição para cada variável, sem complicar:
  • partial fpartial x(x,y,z)=y,z (pois y e z são constantes)
  • partial fpartial y(x,y,z)=x,z (pois x e z são constantes)
  • partial fpartial z(x,y,z)=x,y (pois x e y são constantes)

Passo 4

Agora basta reunir as derivadas parciais em um vetor, que é o gradiente de f.

Resposta

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