Se r=3 i+2 j+4 k, determine as componentes deste vetor no sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O vetor dado é vec r = 3hat i + 2hat j + 4hat k, e queremos expressá-lo nos sistemas cilíndrico e esférico. Vamos precisar conhecer as transformações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas (ou esféricas) e usar projeções do vetor nos versores desses sistemas.

Passo 2

Para o sistema cilíndrico, calculamos primeiro as coordenadas do ponto no plano xy:
r = raizx^2 + y^2 = raiz3^2 + 2^2 = raiz13, theta = arctanl(tfracyxr) = arctanl(tfrac23r), z = 4

Passo 3

No sistema cilíndrico, os versores são
hat er = (costheta,,sintheta,0), hat etheta = (-sintheta,,costheta,0), hat ez = (0,0,1)

Passo 4

Projetamos vec r em cada versor:
vr = vec rcdothat er = 3costheta + 2sintheta = 9+4raiz13 = raiz13,
vtheta = vec rcdothat etheta = -3sintheta + 2costheta = -6+6raiz13 = 0,
vz = vec rcdothat ez = 4

Passo 5

Assim, as componentes cilíndricas são (vr,vtheta,vz) = (raiz13,0,4).

Passo 6

Para o sistema esférico, calculamos:
rho = raizx^2+y^2+z^2 = raiz29, phi = arctanl(tfracyxr) = arctanl(tfrac23r), thetarm polar=arccosl(tfraczrhor)=arccosl(tfrac4raiz29r)

Passo 7

Os versores esféricos são
hat erho=(sinthetacosphi,sinthetasinphi,costheta),
hat etheta=(costhetacosphi,costhetasinphi,-sintheta),
hat ephi =(-sinphi,,cosphi,0)

Passo 8

Projetando: vrho=vec rcdothat erho=raiz29, vtheta=0, vphi=0

Passo 9

Logo, as componentes esféricas são (vrho,vtheta,vphi)=(raiz29,0,0).

Resposta

No sistema cilíndrico: vr=raiz13, vtheta=0, vz=4 No sistema esférico: vrho=raiz29, vtheta=0, vphi=0

Exercícios relacionados