Calcule f^prime(z0) para a função f(z)=i z^3-7 z^2 utilizando a definição
f^prime(z0)=lim De

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a derivada de uma função usando a definição de limite. A função que vamos trabalhar é $ f(z) = i z^{3} - 7 z^{2} $. O que precisamos fazer é aplicar a definição de derivada:
f(z) = i z^3 - 7 z^2
Isso vai nos dar a taxa de variação da função em um ponto específico $ z_{0} $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ z $ por $ z_{0} + \Delta z $ na função $ f(z) $:
z
Agora, precisamos expandir esses termos para facilitar a subtração de $ f(z_{0}) $.

Passo 3

Vamos expandir $ (z_{0} + \Delta z)^{3} $ e $ (z_{0} + \Delta z)^{2} $ usando as fórmulas de expansão:
(z0 + De
(z0 + De

Passo 4

Agora, substituímos essas expansões na expressão de $ f(z_{0} + \Delta z) $:
f(z0 + De
Distribuindo os coeficientes:
f(z0 + De

Passo 5

Agora, vamos subtrair $ f(z_{0}) $ dessa expressão. Sabemos que:
f(z0)
Então:
f(z0) = i z0^3 - 7 z0^2
Simplificando:
f(z0 + De

Passo 6

Agora, dividimos essa diferença por $ \Delta z $:
De
Simplificando cada termo:
f(z0 + De

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando $ \Delta z $ tende a zero. Isso significa que todos os termos com $ \Delta z $ vão desaparecer, já que $ \Delta z $ é muito pequeno:
De

Resposta

A derivada de $ f(z) = i z^{3} - 7 z^{2} $ é:
f(z) = i z^3 - 7 z^2

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