Calcule
para a função
utilizando a definição
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a derivada de uma função usando a definição de limite. A função que vamos trabalhar é $ f(z) = i z^{3} - 7 z^{2} $. O que precisamos fazer é aplicar a definição de derivada:
Isso vai nos dar a taxa de variação da função em um ponto específico $ z_{0} $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ z $ por $ z_{0} + \Delta z $ na função $ f(z) $:
Agora, precisamos expandir esses termos para facilitar a subtração de $ f(z_{0}) $.
Passo 3
Vamos expandir $ (z_{0} + \Delta z)^{3} $ e $ (z_{0} + \Delta z)^{2} $ usando as fórmulas de expansão:
Passo 4
Agora, substituímos essas expansões na expressão de $ f(z_{0} + \Delta z) $:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 5
Agora, vamos subtrair $ f(z_{0}) $ dessa expressão. Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, dividimos essa diferença por $ \Delta z $:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, aplicamos o limite quando $ \Delta z $ tende a zero. Isso significa que todos os termos com $ \Delta z $ vão desaparecer, já que $ \Delta z $ é muito pequeno:
Resposta
A derivada de $ f(z) = i z^{3} - 7 z^{2} $ é: