Calcule
para a função
utilizando a definição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de uma função de variável complexa usando a definição de derivada por limite. O conteúdo da matéria é derivação em C e vamos precisar usar a definição
$$
f^{\prime}(z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$$
com f(z)=z{4}-z{2}.
com f(z)=z{4}-z{2}.
Passo 2
Começamos substituindo f(z) e f(z_{0}) na definição. Assim, o quociente fica
$$
\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=\frac{z{4}-z{2}-(z_{0}{4}-z_{0}{2})}{z-z_{0}}.$$
Passo 3
Para simplificar, escrevemos a diferença de potências em fatores. Note que
e
Logo,
Passo 4
Agora fatoramos (z-z_{0}) no numerador:
Perceba que o fator (z-z_{0}) já foi cancelado.
Passo 5
Aplicamos o limite z→z₀. Como a expressão ficou livre de indeterminação, basta substituir z=z₀:
Resposta
f{\prime}(z_{0})=4z_{0}{3}-2z_{0}