Calcule f^prime(z0) para a função f(z)=z^4-z^2 utilizando a definição
f^prime(z0)=lim z z0 f(z)-f(z0)z-z0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função de variável complexa usando a definição de derivada por limite. O conteúdo da matéria é derivação em C e vamos precisar usar a definição
$$
f^{\prime}(z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$$
com f(z)=z{4}-z{2}.

Passo 2

Começamos substituindo f(z) e f(z_{0}) na definição. Assim, o quociente fica
$$
\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=\frac{z{4}-z{2}-(z_{0}{4}-z_{0}{2})}{z-z_{0}}.$$

Passo 3

Para simplificar, escrevemos a diferença de potências em fatores. Note que
z^4-z0^4=(z^2-z0^2)(z^2+z0^2)
e
z^2-z0^2=(z-z0)(z+z0)
Logo,
z^4-z^2-(z0^4-z0^2)=(z^4-z0^4)-(z^2-z0^2)=(z-z0)(z+z0)(z^2+z0^2)-(z-z0)(z+z0)

Passo 4

Agora fatoramos (z-z_{0}) no numerador:
f(z)-f(z0)z-z0=(z+z0)l(z^2+z0^2-1r)
Perceba que o fator (z-z_{0}) já foi cancelado.

Passo 5

Aplicamos o limite z→z₀. Como a expressão ficou livre de indeterminação, basta substituir z=z₀:
f^prime(z0)=limzto z0(z+z0)(z^2+z0^2-1)=(2z0)(2z0^2-1)=4z0^3-2z0

Resposta

f{\prime}(z_{0})=4z_{0}{3}-2z_{0}

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